Найти общее решение дифференциальных уравнений. Бесплатный доступ к контрольной работе

Реферат.Справочник
Контрольные работы по высшей математике
Найти общее решение дифференциальных уравнений

Найти общее решение дифференциальных уравнений .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти общее решение дифференциальных уравнений: 1-x2y'+xy=1 x2y'+xy=-1

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка.
Представим уравнение в виде:
y'+xy1-x2=11-x2
Решение уравнения будем искать в виде:
y=uv => y'=u'v+uv'
u'v+uv'+xuv1-x2=11-x2
u'v+uv'+xv1-x2=11-x2 (*)
Подберем функцию v таким образом, чтобы выражение в скобках равнялось нулю
v'+xv1-x2=0
dvdx=-xv1-x2 dvv=-xdx1-x2
Интегрируем обе части уравнения:
dvv=lnv -xdx1-x2=12d1-x21-x2=12ln1-x2+C
Выберем частное решение при C=0
lnv=12ln1-x2 v=1-x2
Подставим данные значения в уравнение (*)
u'1-x2=11-x2 u'=11-x21-x2
u=dx1-x21-x2=
Выполним замену:
x=sint dx=costdt
=costdt1-sin2t1-sin2t=costdtcos3t=dtcos2t=tg t+C1=tgarcsinx+C1=
=x1-x2+C1
Общее решение уравнения:
y=x1-x2+C1∙1-x2=x+C11-x2
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка.
Представим уравнение в виде:
y'+yx=-1x2
Решение уравнения будем искать в виде:
y=uv => y'=u'v+uv'
u'v+uv'+uvx=-1x2 u'v+uv'+vx=-1x2 (*)
Подберем функцию v таким образом, чтобы выражение в скобках равнялось нулю:
v'+vx=0 dvdx=-vx dvv=-dxx
Интегрируем обе части уравнения:
dvv=lnv -dxx=-lnx+C
Выберем частное решение при C=0
lnv=-lnx v=-1x
Подставим данные значения в уравнение (*)
-u'x=-1x2 u'=1x => u=lnx+C1
y=uv=lnx+C1∙-1x=-lnxx-C1x

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу