Найти общее решение дифференциального уравнения

X=x1+ay=y1+b
y'=dydx=dy1dx1=y1'
Тогда уравнение перепишется в следующем виде:
y1'=y1+b+6x1+6a+3x1+a-3
Коэффициенты a и b подберём так, чтобы удовлетворить равенствам:
6a+b+3=0a-3=0→6*3+b+3=0a=3→b=-21a=3
Тогда уравнение перепишется так:
y1'=y1+6x1x1=6+y1x1
При этом:
x=x1+3y=y1-21→x1=x-3y1=y+21
Данное уравнение однородное, решаем его с помощью следующей замены:
y1=tx1
Тогда:
y1'=t'x1+t
Уравнение перепишется:
t'x1+t=6+tx1x1
t'x1+t=6+t
t'x1=6
dt=6dx1x1
t=6lnx1+C
Сделаем обратную замену:
y1=tx1→t=y1x1
y1x1=6lnx1+C
Тогда, учитывая, что:
x1=x-3y1=y+21
Получаем, что общее решение исходного дифференциального уравнения будет выглядеть так:
y+21x-3=6lnx-3+C
y=Cx-3+6x-3lnx-3-21
Ответ: y=Cx-3+6x-3ln x-3-21