Найти общее решение дифференциального уравнения

Подстановка t=y'
t'+t∙tgx=sin2∙x
Получили уравнение первого порядка. Снова делаем подстановку
t=u∙v⟹t'=u'∙v+u∙v'
u'∙v+u∙v'+u∙v∙tgx=sin2∙x
u'∙v+u∙v'+v∙tgx=sin2∙x
v'+v∙tgx=0u'∙v=sin2∙x
v'+v∙tgx=0
dvdx=-v∙tgx
dvv=-tgxdx
dvv=-tgxdx
lnv=-sinxcosxdx
lnv=dcosxcosx
lnv=lncosx+C, пусть C=0
lnv=lncosx
v=cosx
u'∙cosx=sin2∙x
dudx=sin2∙xcosx
du=sin2∙xcosxdx
du=sin2∙xcosxdx
u=2∙sinx∙cosxcosxdx=2∙sinxdx=-2∙cosx+C1
Обратные замены
y'=t=u∙v=cosx∙-2∙cosx+C1=C1∙cosx-2∙cos2x
y=C1∙cosx-2∙cos2xdx=C1∙cosxdx-2∙cos2xdx=C1∙sinx-2∙1+cos2∙x2dx=C1∙sinx-1+cos2∙xdx=C1∙sinx-dx+cos2∙xdx=C1∙sinx-x-22∙cos2∙xdx=C1∙sinx-x-12∙cos2∙xd2∙x=C1∙sinx-x-12∙sin2∙x+C2
1+y'2+y∙y''=0
y∙y''=y'∙y'+y∙y''=y'2+y∙y''
x'=1
dy∙y'+x=0
dy∙y'+x=0dx
y∙y'+x=0∙x+C1
y∙y'+x=C1
y∙y'=-x+C1
ydydx=-x+C1
ydy=-x+C1dx
ydy=-x+C1dx
y22=-xdx+C1∙dx=-x22+C1∙x+C2
y2=-x2+C1∙x+C2
y=±-x2+C1∙x+C2
Ответ: y=C1∙sinx-x-sin2∙x2+C2y=±-x2+C1∙x+C2