Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка. Бесплатный доступ к контрольной работе

Реферат.Справочник
Контрольные работы по высшей математике
Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка

Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка: y'+exy=e2x

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Дифференциальное уравнение y'+exy=e2x – линейное первого порядка. Для его решения используем метод Бернулли. Ищем решение в виде произведения двух функций y=u(x)∙v(x), тогда y'=u'v+uv'. Подставим y и y' в заданное уравнение:
u'v+uv'+exuv=e2x
Группируем слагаемые, содержащие u и преобразуем:
u'v+uv'+exv=e2x(*)
Используя произвол в выборе функции v, полагаем v'+exv=0 . Откуда, разделяя переменные, получим:
dvdx+exv=0
dvdx=-exv
dvv=-exdx
dvv=-exdx
lnv=-ex+C
lnv=lnCe-ex
v=Ce-ex
Еще раз используем произвольность выбора v, выбираем частное решение (при C=1): v=e-ex.
Подставляем v=e-ex в (*), получим:
u'v=e2x
u'e-ex=e2x
dudx=e2x+ex
du=e2x+exdx
du=e2x+exdx
e2x+exdx=ex∙eex∙exdx=s=exds=exdx=sesds=p=s, dp=dsdq=esds, q=es=ses-esds=ses-es+C1=exeex-eex+C1=eexex-1+C1
u=eexex-1+C1
Тогда y=uv=eexex-1+C1e-ex=ex-1+C1e-ex

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу