Найти общее решение дифференциального уравнения методом подбора

9y''-6y'+y=ex
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения
9y''-6y'+y=0
Составим и решим характеристическое уравнение
9k2-6k+1=0;
D=36-4∙9=0
k1,2=6±02∙9=13
Получены кратные действительные корни, поэтому общее решение
yо.о=C1ek1x+C2xek2x
yо.о=C1e13x +C2xe13x
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде
yч.н=Aex
Найдем первую и вторую производные
y'ч.н =Aex'=Aex
y''ч.н =Aex'=Aex
Подставим yч.н, y'ч.н, y''ч.н в 9y''-6y'+y=ex
9Aex-6Aex+Aex=ex
4Aex=ex
4A=1
A=14
Таким образом,
yч.н=14ex
Общее решение неоднородного уравнения имеет вид
yо.н=yо.о+yч.н=C1e13x +C2xe13x +14ex
Ответ: yо.н=C1e13x +C2xe13x +14ex