Найти общее решение дифференциального уравнения: а) yIV+2y'''+y''=0 б) y'''-4y''+4y'=0 в) y''+2y'=0 г) y''-4y'=0

А) yIV+2y'''+y''=0
Cоставим характеристическое уравнение:
k4+2k3+k2=0
k2k2+2k+1=0
k2k+12=0
k1,2=0; k3,4=-1;
yоо=C1+C2x+C3+C4xe-x
Найдем частное неоднородное, т.к. k=0 является корнем второго порядка характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде
yчн=Ax2+Bx+Cx2=Ax4+Bx3+Cx2
y'=4Ax3+3Bx2+2Cx;
y''=12Ax2+6Bx+2C;
y'''=24Ax+6B;
yIV=24A
24A+224Ax+6B+12Ax2+6Bx+2C==12Ax2+48A+6Bx+24A+12B+2C=x2+x+1
12A=148A+6B=124A+12B+2C=1⇔A=112B=1-48A6 C=1-24A-12B2⇔A=112B=-12 C==52
Таким образом, частное решение yчн=x412-x32+5x22
Общее решение: y=yчн+yoo=x412-x32+5x22+C1+C2x+C3+C4xe-x
б) . y'''-4y''+4y'=0
Cоставим характеристическое уравнение:
k3-4k2+4k=0
kk2-4k+4=0
kk-22=0
k1=0; k2,3=2;
yоо=C1+C2+C3xe2x
Найдем частное неоднородное, т.к. k=1 не является корнем второго порядка характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде
yчн=Ax+Bex
y'=exAx+B+A;
y''=exAx+B+2A;
y'''=exAx+B+3A;
exAx+B+3A-4exAx+B+2A+4exAx+B+A==exAx+B+3A-4Ax-4B-8A+4Ax+4B+4A==exAx+B-A=ex(x-1)
A=1B-A=-1⇔A=1B=A-1⇔A=1B=0
Таким образом, частное решение yчн=xex
Общее решение: y=yчн+yoo=xex+C1+C2+C3xe2x.
в). y''+2y'=0
Cоставим характеристическое уравнение:
k2+2k=0
kk+2=0
k1=0; k2=-2;
yоо=C1+C2e-2x
Найдем частное неоднородное, т.к