Найти общее и частное решение дифференциального уравнения

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка, решаемое заменой:
y=UV,y'=U'V+UV'
Получаем:
U'V+UV'+3UV tg3x=sin6x
U'V+U(V'+3V tg3x)=sin6x
Составим и решим систему уравнений:
V'+3V tg3x=0U'V=sin6x
Решим первое уравнение системы. Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
dVdx=-3V tg3x
Разделим их:
dVV=-3 tg3xdx
Интегрируем обе части:
dVV=-3 tg3xdx
Решаем первый интеграл, опуская константу:
dVV=lnV
Решаем второй интеграл, опуская константу:
-3 tg3xdx= -3sin3xcos3xdx=Заменаt=cos3xdt=cos3x'dx==-sin3x3x'dx==-3sin3xdx=
=dtt=lnt=lncos3x
Получаем:
lnV=lncos3x→V=cos3x
Подставляем во второе уравнение системы:
U'cos3x=sin6x
Используем формулу sin2a=2sinacosa:
U'cos3x=2sin3xcos3x
U'=2sin3x
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
dUdx=2sin3x
dU=2sin3xdx
Интегрируем:
U=2sin3xdx=Заменаt=3xdt=3x'dx=3dx=23sintdt=-2cost3+C=
=-2cos3x3+C
Делая обратную замену, получаем общее решение дифференциального уравнения:
y=UV=cos3x-2cos3x3+C
Чтобы найти частное решение, найдем константу при начальных условиях:
13=cos(3∙0)-2cos(3∙0)3+C
13=-23+C→C=1
Частное решение имеет вид:
y=cos3x-2cos3x3+1=-2cos23x3+cos3x