Найти область сходимости степенного ряда. Бесплатный доступ к контрольной работе

Реферат.Справочник
Контрольные работы по высшей математике
Найти область сходимости степенного ряда

Найти область сходимости степенного ряда .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти область сходимости степенного ряда: n=1∞xn2n-1*n+2

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Найдём радиус сходимости степенного ряда:
R=limn→∞anan+1
Выпишем общий член ряда и составим (n+1)-й член ряда:
an=12n-1*n+2
an+1=12n*n+3
Тогда:
R=limn→∞anan+1=limn→∞12n-1*n+212n*n+3=limn→∞2nn+32n-1n+2=2limn→∞n+3n+2=2
Интервал сходимости степенного ряда имеет вид:
x∈(x0-R;x0+R)
где R-это радиус сходимости степенного ряда,
x0-число (центр ряда)
В нашем случае x0=0, поэтому интервал сходимости выглядит так:
x∈-2;2
Исследуем сходимость в граничных точках интервала.
При x=-2 получаем следующий ряд:
n=1∞-2n2n-1n+2=n=1∞-1n*2n2n*12n+2=n=1∞-1n*2n+2
Данный ряд является знакочередующимся, поэтому исследуем его на сходимость с помощью признака Лейбница:
1)Члены ряда должны убывать по модулю:
-23>1>-25>…
Данное условие выполняется.
2)Предел общего члена ряда должен стремиться к нулю:
limn→∞2n+2=0
Данное условие выполняется, поэтому делаем вывод, что в данной точке ряд сходится.
При x=2 получаем следующий ряд:
n=1∞2n+2
Исследуем данный ряд на сходимость с помощью интегрального признака Коши:
1+∞2x+2dx=2limb→+∞1bdxx+2=2limb→+∞1bx+2-12dx+2=4limb→+∞(x+2)|1b=4limb→+∞b+2+3=∞
Так как данный несобственный интеграл расходится, делаем вывод, что в точке x=2 ряд расходится.
Тогда область сходимости ряда выглядит так:
x∈-2;2

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу