Найти область сходимости степенного ряда. Бесплатный доступ к контрольной работе

Реферат.Справочник
Контрольные работы по высшей математике
Найти область сходимости степенного ряда

Найти область сходимости степенного ряда .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти область сходимости степенного ряда: n=1∞4nn4-1∙(x-2)n

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Интервал сходимости степенного ряда найдем с помощью признака Даламбера:
un=4nn4-1∙(x-2)n
un+1=4n+1(n+1)4-1∙(x-2)n+1=4(x-2)∙4n(x-2)n(n+1)4-1
limn→∞ un+1un=limn→∞4(x-2)∙4n(x-2)n(n+1)4-1∙n4-14n(x-4)n=
=4x-2∙limn→∞n4-1(n+1)4-1=4x-2
Ряд сходится при:
4x-2<1 x-2<14 74<x<94
Исследуем ряд на сходимость на концах интервала:
x=74
n=1∞4nn4-1∙(x-2)n=n=1∞(-1)nn4-1
Это знакочередующийся ряд . Исследуем на сходимость ряд, составленный их модулей исходного ряда:
an=n=1∞1n4-1
Сравним данный ряд со сходящимся обобщенно гармоническим с показателем степени α=2
bn=1n2
limn→∞bnan=limn→∞n4-1n2=limn→∞1-1n4=1
Получили конечное, отличное от 0 число, поэтому ряд, составленный из модулей исходного ряда сходится, а исходный ряд сходится абсолютно
x=94
n=1∞4nn4-1∙(x-2)n=n=1∞1n4-1
Данный ряд сходится по доказанному ранее
Область сходимости исследуемого степенного ряда:
74≤x≤94

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу