Найти область сходимости степенного ряда

Для нахождения области сходимости воспользуемся признаком Даламбера для степенных рядов. Итак, найдём радиус сходимости:
R=limn→∞cncn+1, где cn-коэффициенты ряда=
limn→∞12n:12n+1=limn→∞12n∙2n+11=limn→∞2=2.
Значит, область сходимости будет
x+3<2⟹-2<x+3<2⟹-5<x<-1.
Проверим сходимость ряда на концах интервала.
Пусть x = -1, тогда, получаем ряд
n=1∞-1+3n+22n =n=1∞2n+22n=n=1∞22=n=1∞4.
Исследуем ряд с помощью интегрального признака сравнения:
1∞4dn=4n1∞=4∞-1=∞.
Так как несобственный интеграл расходится, то расходится и исследуемый ряд.
Далее, пусть x = -5.
n=1∞-5+3n+22n =n=1∞-2n+22n=n=1∞-1n+2∙4.
Получили знакочередующийся ряд