Найти область сходимости и проверить сходимость на границах интервала. Бесплатный доступ к контрольной работе

Реферат.Справочник
Контрольные работы по высшей математике
Найти область сходимости и проверить сходимость на границах интервала

Найти область сходимости и проверить сходимость на границах интервала .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти область сходимости и проверить сходимость на границах интервала: n=1∞32nxn(n2+1)n3-2 n=1∞2n-1n(x-2)n(n+1)4n+1

Нужно полное решение этой работы?

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

А) n=1∞32nxn(n2+1)n3-2
an=32nn2+1n3-2
an+1=32n+2((n+1)2+1)n+13-2=9∙32n((n+1)2+1)n+13-2
Найдем радиус сходимости ряда:
R=limn→∞anan+1=limn→∞32nn2+1n3-2∙((n+1)2+1)n+13-29∙32n=
=19∙limn→∞((n+1)2+1)n+13-2n2+1n3-2=19 R=19
Область сходимости ряда:
-19;19
Проверим сходимость ряда на концах интервала:
x=19
n=1∞32nxn(n2+1)n3-2=n=1∞32n19n(n2+1)n3-2=n=1∞1(n2+1)n3-2
Для проверки сходимости сравним данный ряд со сходящимся обобщенно гармоническим рядом, с показателем степени α=3,5
n=1∞bn=n=1∞1n7
limn→∞bn1n2+1n3-2=limn→∞n2+1n3-2n7=limn→∞n3-2(n2+1)2n7=
=limn→∞n3-2n4+2n2+1n7=limn→∞n7+2n5+n3-2n4-4n2-2n7=
=limn→∞1+2n2+1n4-2n3-4n5-2n7
Получили конечное, отличное от нуля число, поэтому исходный ряд также сходится
x=-19
n=1∞32nxn(n2+1)n3-2=n=1∞32n-19n(n2+1)n3-2=n=1∞(-1)n(n2+1)n3-2
Так как ряд, составленный из модулей данного ряда сходится, по доказанному ранее, значит, и данный ряд сходится абсолютно.
Интервал сходимости функционального ряда:
-19≤x≤19
n=1∞2n-1n(x-2)n(n+1)4n+1
an=2n-1n(n+1)4n+1 an+1=2nn+1(n+2)4n+2=2∙2n-1n+1(n+2)∙4∙4n+1=12∙2n-1n+1(n+2)∙4n+1
Найдем радиус сходимости ряда:
R=limn→∞anan+1=limn→∞2n-1n(n+1)4n+1∙2(n+2)∙4n+12n-1n+1=2∙limn→∞n+2n(n+1)n+1=2
Область сходимости ряда:
-2<x-2<2
0<x<4
Проверим сходимость ряда на концах интервала:
x=4
n=1∞2n-1n(x-2)nn+14n+1=n=1∞2n∙2n-1nn+14n+1=18∙n=1∞nn+1
Сравним данный ряд с расходящимся обобщенно гармоническим рядом с показателем степени k=0,5
n=1∞bn=n=1∞1n
limn→∞1nnn+1=limn→∞n+1n=limn→∞1+1n=1
Получили конечное отличное от нуля число, значит, исходный ряд также расходится.
x=0
n=1∞2n-1n(x-2)nn+14n+1=n=1∞(-2)n∙2n-1nn+14n+1=18∙n=1∞(-1)nnn+1
Это знакочередующийся ряд

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу