Найти область сходимости функционального ряда

An=x3nn*8n
an+1=x3n+3n+1*8n+1
limn→∞an+1an=limn→∞x3n+3n+1*8n+1x3nn*8n=limn→∞x3n+3*n*8nn+1*8n+1*x3n=limn→∞x3n*x3*n*8nn+1*8n*8*x3n=limn→∞x3*nn+1*8=x3*limn→∞nn+1*8=x3*18
Значит область сходимости
x3*18<1
x3<8
x<2
-2<x<2
Проверим сходимость на правой границе интервала:
x=2; n=1∞23nn*8n=n=1∞1n
Данный ряд расходится
Проверим сходимость на левой границе интервала:
x=-2; n=1∞-23nn*8n=n=1∞-1nn
Используем признак Лейбница:
1) n=1∞-1nn=-1+12-13+…
Данный ряд является знакочередующимся.
2) limn→+∞an=limn→∞1n=0
члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно.
Ряд сходится по признаку Лейбница.
Исследуем ряд на абсолютную сходимость:
n=1∞an=n=1∞1n
Данный ряд расходится
Значит, границы не включают в область сходимости
-2<x<2
Ответ: 3