Найти объём тела, заданного неравенствами. 36≤x2+y2+z2≤144; z≤x2+y23; x3≤y≤x3. Бесплатный доступ к контрольной работе

Реферат.Справочник
Контрольные работы по высшей математике
Найти объём тела, заданного неравенствами. 36≤x2+y2+z2≤144; z≤x2+y23; x3≤y≤x3

Найти объём тела, заданного неравенствами. 36≤x2+y2+z2≤144; z≤x2+y23; x3≤y≤x3 .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти объём тела, заданного неравенствами. 36≤x2+y2+z2≤144; z≤x2+y23; x3≤y≤x3

Ответ

V=126π.

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Первое равенство – пространство между сферами с радиусом R=6 и R=12.
Второе неравенство – нижняя часть конуса.
Третье неравенство – две плоскости, проходящие под углом соответственно π6и π3 к плоскости ХОУ.
Перейдем к сферическим координатам
x=ρ∙cosφ∙sinθ,y=ρ∙sinφ∙sinθz=ρcosθ.dxdydz=ρ2∙sinθdρdφdθ,
Находим изменение угла θ
ρcosθ=ρ2∙sin2θ∙cos2φ+ρ2∙sin2θ∙sin2φ3;
ρcosθ=ρsinθ3=>tgθ=3=>π3.
Следовательно, поскольку область лежит ниже конической поверхности, нужно взять углы больше крайнего, т.е
π3≤θ≤π.
Угол φ лежит в III четверти, поэтому
ρ∙cosφ3 =ρ∙sinφ=>tgφ=3=>4π3
ρ∙cosφ3=ρ∙sinφ=>tgφ=13=>7π6
V=7π64π3dφπ3πdθ612ρ2sinθdρ=π6π3πρ33sinθ612dθ=
=π6π3π1233-633sinθdθ=π6∙633∙7π3πsinθdθ=84π(-cosθ)π3π
=84π12+1=126π.
Ответ: V=126π.

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу