Найти неопределенный интеграл: 4x3+13x2+10x+36x2-2x+2(x+4)2dx

Разложим подынтегральную дробь на сумму простейших дробей:
4x3+13x2+10x+36x2-2x+2(x+4)2=Ax+Bx2-2x+2+Cx+4+D(x+4)2=
=Ax+B(x+4)2+Cx+4x2-2x+2+D(x2-2x+2)x2-2x+2(x+4)2=
=Ax3+Bx2+8Ax2+8Bx+16Ax+16Bx2-2x+2(x+4)2+
+Cx3+4Cx2-2Cx2-8Cx+2Cx+8C+Dx2-2Dx+2Dx2-2x+2(x+4)2=
=x3A+C+x2B+8A+2C+D+x8B+16A-6C-2D+16B+8C+2Dx2-2x+2(x+4)2
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях переменной x в числителях левой и правой частей:
A+C=48A+B+2C+D=1316A+8B-6C-2D=1016B+8C+2D=36
Решим систему методом Гаусса:
10104812113168-6-2100168236~Умножим первую строку на -8 и сложим со второйУмножим первую строку на -16 и сложим с третьей
1010401-61-1908-22-2-540168236~Умножим вторую строку на -8 и сложим с третьейУмножим вторую строку на -16 и сложим с четвертой
1010401-61-190026-109800104-14340~Умножим третью строку на -4 и сложим с четвертой
1010401-61-190026-109800026-52~Разделим четвертую строку на 26
1010401-61-190026-10980001-2
A+C=4B-6C+D=-1926C-10D=98D=-2 => A=1B=1C=3D=-2
4x3+13x2+10x+36x2-2x+2(x+4)2=x+1x2-2x+2+3x+4-2(x+4)2
4x3+13x2+10x+36x2-2x+2(x+4)2dx=(x+1)dxx2-2x+2+3dxx+4-2dx(x+4)2=
=12(2x-2+4)dxx2-2x+2+3dxx+4-2dx(x+4)2=
=122x-2dxx2-2x+2+2dxx2-2x+2+3dxx+4-2dx(x+4)2=
=12d(x2-2x+2)x2-2x+2+2d(x-1)(x-1)2+1+3d(x+4)x+4-2d(x+4)(x+4)2=
=12ln(x2-2x+2)+2arctgx-1+3lnx+4+2x+4+C
Ответ: 12ln(x2-2x+2)+2arctgx-1+3lnx+4+2x+4+C