Найти неопределенные интегралы. Результаты интегрирования проверить дифференцированием. а) dx3x+8

А) dx3x+8=t=3x+8dt=3dx=13dtt=13lnt+C=13ln3x+8+C
Проверка:
13ln3x+8+C'=13*13x+8*3x+8'=13*33x+8=13x+8
б) ex3+exdx=t=ex+3dt=exdx=dtt=lnt+C=lnex+3+C
Проверка:
lnex+3'=1ex+3*ex+3'=ex3+ex
в) sin2xcos2x+1dx=t=cos2x+1dt=-sin2xdx=-dtt=-2t+C=-2cos2x+1+C
Проверка:
-2cos2x+1+C'=-22cos2x+1*cos2x+1'=sin2xcos2x+1
г) x2-6x+8x3+8dx
Рассмотрим интегрирование правильной дроби. Для этого ее надо представить в виде суммы простейших дробей.
x2-6x+8x3+8=x2-6x+8x+2x2-2x+4=Ax+2+Bx+Cx2-2x+4=Ax2-2Ax+4A+Bx+Cx+2x-1x-2=Ax2-2Ax+4A+Bx2+Cx+2Bx+2Cx-1x-2
Где А, В и C – неопределенные коэффициенты, так как
x2-6x+8x3+8=x2A+B+x-2A+C+2B+4A+2Cx+2x2-2x+4
То для определения коэффициентов А, В и C получаем систему:
A+B=1,-2A+C+2B=-6,4A+2C=8.
A=1-B,-2*1-B+C+2B=-6,4A+2C=8.
A=1-B,-2+2B+C+2B=-6,4A+2C=8.
A=1-B,C+4B=-4,4A+2C=8.
A=1-B,C=-4-4B,4*1-B+2*-4-4B=8.
A=1-B,C=-4-4B,4-4B-8-8B=8.
A=1-B,C=-4-4B,-12B=12.
A=1--1,C=-4-4*-1,B=-1.
A=2,C=0,B=-1.
Таким образом, правильная дробь представляется суммой двух простейших дробей:
x2-6x+8x+2x2-2x+4=2x+2-xx2-2x+4
Выполним теперь интегрирование исходного интеграла:
x2-6x+8x3+8dx=2x+2-xx2-2x+4dx=2dxx+2-xdxx2-2x+4=2lnx+2-xdxx-12+3=t=x-1dt=dxx=t+1=2lnx+2-t+1dtt2+3=2lnx+2-tdtt2+3-dtt2+3=2lnx+2-12lnt2+3-13arctgt3+C=2lnx+2-12lnx-12+3-13arctgx-13+C=2lnx+2-12lnx2-2x+4-13arctgx-13+C
д) x2cos2xdx=uv-vdu=u=x2du=2xdxdv=cos2xdxv=12sin2x =x22sin2x-xsin2xdx= uv-vdu=u=xdu=dxdv=sin2x dxv=-12cos2x=x22sin2x+x2cos2x-12cos2xdx=x22sin2x+x2cos2x-12*12sin2x+C=x22sin2x+x2cos2x-14sin2x+C
е) 3x+12+6x+1x+1+3x+1dx=t6=x+1x=t6-1dx=6t5dt=3t62+6t6t6+3t6*6t5dt=3t12+tt3+t2*6t5dt=t4+tt3+t2*6t5dt=tt3+1t2t+1*6t5dt=tt+1t2-t+1t+1*6t3dt=tt2-t+1*6t3dt=6t6-6t5+6t4dt=6t77-6t66+6t55+C=6t77-t6+6t55+C=66x+177-6x+16+66x+155+C=66x+177-x-1+66x+155+C