Найти неопределенные интегралы, результаты интегрирования проверить дифференцированием а) 3x+4x2+32x2dx;

А) Неопределенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов. Поэтому выполнив преобразование подынтегральной функции, получим:
3x+4x2-52x2dx=3x2x2dx+4x22x2dx-52x2dx==32x-32dx+2dx-2,5x-2dx==3x-32+121-32+2x-5x-2+12-2+1+C=-3x-12+2x+2,5x-1+C==2x+2,5x-3x+C.
Проверка: F'x=2x+2,5x-3x+C'=2+2,5-1x-2-3-12x-32=
=2-52x2+32x3=3x+4x2-52x2=fx.
б) Сделаем подстановку и путем непосредственного интегрирования найдем интеграл . То есть
cos3x-5dx=t=3x-5dt=3 dx=13costdx=13sint+C=13sin3x-5+C.
Проверка: F'x=13sin3x-5+C'=cos3x-5=fx.
в) Аналогично,
1x1+ln2xdx=t=lnxdt=1x dx=11+t2dx=arctg t+C=arctglnx+C.
Проверка: F'x=arctglnx+C'=1x1+ln2x=fx.
г) Для непосредственного интегрирования выполним подстановку, тогда
esin3xcos3xdx=t=sin3xdt=3cos3x dx=13etdt=13et+C=13esin3x+C.
Проверка: F'x=13esin3x+C'=13esin3xsin3x'=esin3xcos3x=fx.
д) Выполнив подстановку, получим
4x3+exex+x4dx=t=ex+x4dt=ex+4x3 dx=1t dt=lnt+C=lnex+x4+C.
Проверка: F'x=lnex+x4+C'=1ex+x4ex+x4'=4x3+exex+x4=fx.
е) При отыскании данного интеграла применим метод интегрирования по частям, тогда
lnxx3dx=u=lnx; du=1x dxdv=x-3 dx;v=-12x-2=-12x-2lnx--12x-21x dx==-lnx2x2-14x2+C.
Проверка: F'x=-lnx2x2-14x2+C'=-lnx2+14x2'=-lnx2+1'4x2-lnx2+14x2'4x22=-1x22x4x2-1+lnx28x2x3=-1-1-lnx22x3=lnxx3=fx.
Ответ: а) 2x+2,5x-3x+C;б) 13sin3x-5+C;в) 13esin3x+C;д) lnex+x4+C;е)-lnx2x2-14x2+C.