Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x,у)

Область D представляет собой прямоугольник ABC.
Из построения следует, что координаты угловых точек соответственно равны A-1;2,B2;-1,C-1;-1. Исследуем функцию z в области D. Найдём частные производные первого порядка.
∂z∂x=zx'=5x2+y2-3xyx'=10x-3y;
∂z∂y=zy'=5x2+y2-3xyy'=2y-3x.
Составим систему уравнений для нахождения критических точек:
10x-3y=0,2y-3x=0, ⇒x=y=0
Итак, критическая точка - M00;0∈D. Выяснять характер этой точки не имеет смысла, поскольку по условию необходимо найти наибольшее и наименьшее значение, а они не всегда совпадают с экстремальными . Поэтому находим
z1=z0;0=5∙02+02-3∙0∙0=0.
Исследуем функцию на участке границы: CB:y=-1, x∈-1;2. Подставим y=-1 в функцию z, получим функцию – fx=5x2+1+3x,x∈-1;2. Найдём критические точки функции fx:f'x=5x2+1+3x'=
=10x+3. Тогда 10x+3=0⟺x=-0,3.
Эта точка принадлежит области D.
Находим значение z2=f-0,3=5∙0,09+1-3∙0,3=0,55