Найти минимум функции FX=10x2-3x3 при следующих ограничениях

А) решим задачу симплекс-методом
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
В 1-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x4 со знаком минус. В 2-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x5 со знаком минус.
-2x1+x2-x3-x4 = 1
x1+2x2-x3-x5 = 3
Расширенная матрица системы ограничений-равенств данной задачи:
-2 1 -1 -1 0 1
1 2 -1 0 -1 3
Приведем систему к единичной матрице методом жордановских преобразований.
1. В качестве базовой переменной можно выбрать x4.
Получаем новую матрицу:
2 -1 1 1 0 -1
1 2 -1 0 -1 3
2. В качестве базовой переменной можно выбрать x5.
Получаем новую матрицу:
2 -1 1 1 0 -1
-1 -2 1 0 1 -3
Поскольку в системе имеется единичная матрица, то в качестве базисных переменных принимаем X = (4,5).
Выразим базисные переменные через остальные:
x4 = -2x1+x2-x3-1
x5 = x1+2x2-x3-3
Подставим их в целевую функцию:
F(X) = 10x2-3x3
Среди свободных членов bi имеются отрицательные значения, следовательно, полученный базисный план не является опорным.
Вместо переменной x5 следует ввести переменную x2.
Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.
Базис B x1 x2 x3 x4 x5
x4 1/2 5/2 0 1/2 1 -1/2
x2 3/2 1/2 1 -1/2 0 -1/2
F(X0) -15 -5 0 2 0 5
Выразим базисные переменные через остальные:
x4 = -5/2x1-1/2x3+1/2x5+1/2
x2 = -1/2x1+1/2x3+1/2x5+11/2
Подставим их в целевую функцию:
F(X) = 10(-1/2x1+1/2x3+1/2x5+11/2)-3x3
Или
F(X) = -5x1+2x3+5x5+15
5/2x1+1/2x3+x4-1/2x5=1/2
1/2x1+x2-1/2x3-1/2x5=11/2
При вычислениях значение Fc = 15 временно не учитываем.
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:
A = 5/2 0 1/2 1 -1/2
1/2 1 -1/2 0 -1/2
Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x4, x2
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:
X0 = (0,11/2,0,1/2,0)
Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.
Базис B x1 x2 x3 x4 x5
x4 1/2 5/2 0 1/2 1 -1/2
x2 3/2 1/2 1 -1/2 0 -1/2
F(X0) 0 5 0 -2 0 -5
Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
1 . Проверка критерия оптимальности.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся положительные коэффициенты.
2. Определение новой базисной переменной.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как это наибольший коэффициент.
3. Определение новой свободной переменной.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1
и из них выберем наименьшее:
min (1/2 : 21/2 , 11/2 : 1/2 ) = 1/5
Следовательно, 1-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (21/2) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Базис B x1 x2 x3 x4 x5 min
x4 1/2 5/2 0 1/2 1 -1/2 1/5
x2 3/2 1/2 1 -1/2 0 -1/2 3
F(X1) 0 5 0 -2 0 -5 0
4