Найти интегрирующий множитель вида μ=μx и решить уравнение

Имеем дифференциальное уравнение вида: Mx;ydx+Nx;ydy=0. Домножим обе части на интегрирующий множитель μx:
Mx;yμxdx+Nx;yμxdy=0
∂Mx;y∂y=∂x+y2μx∂y=2yμx;
∂Nx;y∂x=∂-2xyμx∂x=-2yμx-2xyμ'x.
2yμx=-2yμx-2xyμ'x⇒2μx=-xμ'x⇒dμxdx=-2μxx⇒
dμxμx=-2dxx⇒lnμx=-2lnx⇒μx=x-2.
x+y2x2dx-2ydyx=0.
Проверим, является ли уравнение в полных дифференциалах:
∂Mx;y∂y=∂x+y2x2∂y=2yx2; ∂Nx;y∂x=∂-2yx∂x=2yx2.
∂Mx;y∂y=∂Nx;y∂x, следовательно, существует функция Fx;y,
которая подчиняется уравнению:
∂F∂xdx+∂F∂ydy=0, где:
∂Fx;y∂y=-2yx⇒Fx;y=-2yxdy=-y2x+φx=.
Найдем функцию φx:
∂Fx;y∂x=∂-y2x+φx∂x=y2x2+φ'x=x+y2x2⇒
φ'x=1x⇒φx=dxx=lnx+C.
Тогда решением данного дифференциального уравнения является функция:
Fx;y=-y2x+lnx+C.
Ответ