Найти интегрирующий множитель вида μ=μx2+y2 и решить уравнение

Сгруппируем слагаемые:
x-xydx+y+x2dy=0.
Найдем ∂Mx;y∂y и ∂Nx;y∂x:
∂Mx;y∂y=∂x-xy∂y=-x; ∂Nx;y∂x=∂y+x2∂x=2x.
Пусть z=x2+y2, μx2+y2=μz. Найдем μz из уравнения:
1μz∙dμzdz=∂Mx;y∂y-∂Nx;y∂xNx;y∂z∂x-Mx;y∂z∂y
1μz∙dμzdz=-x-2x2xy+x2-2yx-xy=-3x2xy+2x3-2xy+2xy2=
=-32x2+y2=-32z⇒1μz∙dμzdz=-32z⇒dμzμz=-32dzz⇒
lnμz=-32lnz⇒μz=z-32⇒μx2+y2=x2+y2-32.
x-xyx2+y2-32dx+y+x2x2+y2-32dy=0.
Fx;y=x-xyx2+y2-32dx=1-yxx2+y232dx=
=1-y2dx2+y2x2+y232=-1-yx2+y212+φy.
Найдем функцию φy:
∂Fx;y∂y=∂-1-yx2+y212+φy∂y=
=x2+y212+y1-yx2+y2-12x2+y2+φ'y=y+x2x2+y232⇒
φ'y=y+x2x2+y232-x2+y212+y1-yx2+y212x2+y2=y+x2x2+y232-x2+y2+y-y2x2+y232=
=y+x2-x2-yx2+y232=0.
Тогда решением данного дифференциального уравнения является функция:
Fx;y=-1-yx2+y212+C.
Ответ