Найти экстремум функции двух переменных: z=e2xx+y2+2y

Находим частные производные первого порядка:
∂z∂x=e2xx+y2+2yx'=2e2xx+y2+2y+e2x=2e2xx+y2+2y+0,5;
∂z∂y=e2xx+y2+2yy'=2e2xy+1
Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим критические (стационарные) точки решая систему,
∂z∂x=0,∂z∂y=0;=>2e2xx+y2+2y+0,5=0,2e2xy+1=0; => x=12, y=-1 .
Итак, у нас есть одна стационарная точка:М12;-1, в которой выполняется необходимое условие экстремума.
Исследуем эту точку на экстремум с помощью достаточных условий. Для этого найдем вторые частные производные
A=∂2z∂x2=2e2xx+y2+2y+0,5x'=4e2xx+y2+2y+0,5+2e2x
=4e2xx+y2+2y+1,
C=∂2z∂y2=2e2xy+1y'=2e2x,
B=∂2z∂x∂y=2e2xx+y2+2y+0,5y'=2e2x2y+2=4e2xy+1.
Вычисляем значения для точкиМ0;0 :
A=∂2z∂x212;-1=4e2∙1212+-12+2∙-1+1=2e;
C=∂2z∂y212;-1=2e2∙12=2e; B=∂2z∂x∂y12;-1=4e2∙12y+1=0.
Так как AC-B2=2e∙2e-02=4∙e2>0