Найти частное решение удовлетворяющее начальным условиям x10=0 и x20=1

Решим систему дифференциальных уравнений сведением к линейному дифференциальному уравнению:
Дифференцируем первое уравнение по t:
d2x1dt2=6dx1dt+3dx2dt;
Подставляем сюда из системы уравнений производные dx1dt и dx2dt:
d2x1dt2=66x1+3x2+3-8x1-5x2;
d2x1dt2=12x1+3x2;
Из первого уравнения системы:
x2=13∙dx1dt-2x1;
Тогда
d2x1dt2=12x1+313∙dx1dt-2x1;
d2x1dt2-dx1dt-6x1=0;
Составим и решим характеристическое уравнение:
k2-k-6=0;
k1,2=-2;3
x1=C1e-2t+C2e3t;
Найдем производную найденной функции:
dx1dt=-2C1e-2t+3C2e3t;
Подставим x1=C1e-2t+C2e3t и dx1dt=-2C1e-2t+3C2e3t в уравнение
x2=13∙dx1dt-2x1:
x2=13∙-2C1e-2t+3C2e3t-2∙C1e-2t+C2e3t;
x2=-83C1e-2t-C2e3t;
Обе функции найдены, запишем общее решение системы:
x1=C1e-2t+C2e3t,x2=-83C1e-2t-C2e3t.
Найдем частное решение системы при x10=0 и x20=1:
0=C1e0+C2e0,1=-83C1e0-C2e0, 0=C1+C2,1=-83C1-C2, C1=-35, C2=35.
Получили частное решение системы дифференциальных уравнений:
x1=-35e-2t+35e3t,x2=85e-2t-35e3t.
Решим систему дифференциальных уравнений операционным методом:
Переходим к изображениям, используя свойства дифференцирования оригинала и данные начальные условия:
x1t→X1p; x1't→pX1p-x10=pX1p;
x2t→X2p; x2't→pX2p-x20=pX2p-1;
Тогда исходная система уравнений при заданных начальных условиях запишется в операторной форме в следующем виде:
pX1p=6X1p+3X2p,pX2p-1=-8X1p-5X2p, p-6X1p-3X2p=0,8X1p+p+5X2p=1,
Решим систему по формулам Крамера:
∆=p-6-38p+5=p-6p+5--3∙8=p2-p-30+24=
=p2-p-6;
∆1=0-31p+5=0∙p+5--3∙1=3;
∆2=p-6081=p-6∙1-0∙8=p-6;
Получаем:
X1p=∆1∆=3p2-p-6=3p+2p-3.
Упростим заданный оригинал, представив его в виде суммы простейших дробей:
X1p=3p+2p-3=Ap+2+Bp-3=Ap-3+Bp+2p+2p-3;
Для нахождения неизвестны коэффициентов составим систему уравнений:
A+B=0,-3A+2B=3, A=-35,B=35,
Значит,
X1p=-35∙1p+2+35∙1p-3.
Воспользовавшись свойством линейности преобразования Лапласа и таблицей оригиналов и изображений, получим
X1p→-35∙e-2t+35∙e3t=x1t.
Получаем:
X2p=∆2∆=p-6p2-p-6=p-6p+2p-3;
Упростим заданный оригинал, представив его в виде суммы простейших дробей:
X2p=p-6p+2p-3=Ap+2+Bp-3=Ap-3+Bp+2p+2p-3;
Для нахождения неизвестны коэффициентов составим систему уравнений:
A+B=1,-3A+2B=-6, A=85,B=-35,
Значит,
X2p=85∙1p+2-35∙1p-3.
Воспользовавшись свойством линейности преобразования Лапласа и таблицей оригиналов и изображений, получим
X2p→85∙e-2t-35∙e3t=x2t.
Получили решение системы:
x1=-35e-2t+35e3t,x2=85e-2t-35e3t.