Найти частное решение линейного дифференциального уравнения

Сначала решаем однородное уравнение y''+y=0. Составляем характеристическое уравнение:
k2+1=0⟹k1,2=-1=±i.
Корни характеристического уравнения мнимые, тогда решение однородного уравнения примет вид:
yоднx=C1cosx+C2sinx.
Решаем неоднородное уравнение y''+y=cos3x. Проверяемое в этом случае число ±βi=±3i не совпадает с корнями характеристического уравнения, поэтому частное решение имеет вид:
yчаст=Acos3x+Bsin3x.
Вычислим производные функции yчаст=Acos3x+Bsin3x:
yчаст'=-3Asin3x+3Bcos3x; yчаст''=-9Acos3x-9Bsin3x.
Подставляем полученные выражения в исходное уравнение и определяем коэффициенты:
-9Acos3x-9Bsin3x+Acos3x+Bsin3x=cos3x
-8Acos3x-8Bsin3x=cos3x
-8A=1-8B=0⟹A=-18B=0⟹yчаст=-18cos3x.
Тогда общее решение уравнения:
yx=yоднx+yчаст=C1cosx+C2sinx-18cos3x.
Найдем решение линейного дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям:
yπ2=4, y'π2=1
yπ2=C1cosπ2+C2sinπ2-18cos3∙π2=C1∙0+C2∙1-18∙0=C2=4;
y'π2=-C1sinπ2+C2cosπ2+38sin3∙π2=-C1∙1+C2∙0+38∙-1=-C1-38=1⟹C1=-118.
Тогда частное решение линейного дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям:
yx=-118cosx+4sinx-18cos3x.
Ответ: yx=-118cosx+4sinx-18cos3x.