Найти частное решение дифференциального уравнения

Применяем преобразование Лапласа с учетом нулевых начальных условий:
y Yp
y' pYp
y''' p3Yp
Кроме того:
e2t 1p-2
Откуда получаем операторное уравнение:
p3Yp+pYp=10p-2
pp2+1Yp=10p-2
Yp=10pp-2p2+1
Представим изображение сумой дробей:
Ap+Bp-2+Cp+Dp2+1
Тогда:
Ap+Bp-2+Cp+Dp2+1=Ap-2p2+1+Bpp2+1+Cp+Dpp-2pp-2p2+1
Т.к . числитель при любом p должен равняться 10, то берем p=0 и находим -2A=10 A=-5, при p=2 получаем 10B=10 B=1, а при p=i получаем:
Ci+Dii-2=10
Или:
2C-D-iC+2D=10
Откуда:
2C-D=10C+2D=0 C=4D=-2
Получили:
Yp=-5p+1p-2+4p-2p2+1
Используя соотношения:
1 1p
e2t 1p-2
cost pp2+1
sint 1p2+1
Восстанавливаем оригинал и получаем решение уравнения:
yt=-5+e2t+4cost-2sint