Найти частное решение дифференциального уравнения

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Найдем общее решение однородного уравнения:
y''+4y'=0
Составим и решим характеристическое уравнение:
k2+4k=0 kk+4=0 k1=0 k2=-4
Корни характеристического уравнения действительные различные, поэтому общее решение однородного уравнения:
y0=C1+C2e-4x
Найдем частное решение неоднородного уравнения . Правая часть неоднородного уравнения является функцией специального вида с характеристическим числом k=±i, не совпадающим с корнями характеристического уравнения, поэтому частное решение будем искать в виде:
y=Asinx+Bcosx
y'=Acosx-Bsinx
y''=-Asinx-Bcosx
Подставим данные значения в исходное уравнение:
-Asinx-Bcosx+4Acosx-Bsinx=4sinx
sinx-A-4B+cosx(4A-B)=4sinx
-A-4B=44A-B=0 -A-16A=4B=4A A=-417B=-1617
y=-417sinx-1617cosx
Общее решение уравнения запишем в виде:
y=y0+y=C1+C2e-4x-417sinx-1617cosx
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:
y0=0 => C1+C2-1617=0
y'=-4C2e-4x-417cosx+1617sinx
y'0=2 => -4C2-417=2 => C2=-1934 C1=32
Частное решение уравнения:
y=32-1934e-4x-417sinx-1617cosx