Найти автокорреляционную функцию Bs(τ) треугольного импульса длительностью τи с амплитудой U

Заданный униполярный прямоугольный импульс может быть описан вещественной функцией времени
Ut=U1-2∙tτи, -τи2≤t≤τи2;0, t<-τи2, t>τи2. (3.1)
Для детерминированного сигнала (3.1) конечной длительности корреляционная функция определяется выражением [1, с. 69]
Bsτ=-∞∞UtUt+τ dt=
=-τи2τи2U1-2∙tτиU1-2∙t+ττи dt=
=U2∙τи3-U2∙τ=U2τи3-τ. (3.2)
На рис. 3.2 приведен рассчитанный по полученной формуле (3.2) в среде Mathcad график корреляционной функции для заданных параметров треугольного импульса.
42481515557500
Рисунок 3.2 Корреляционная функция треугольного импульса
с заданными параметрами
Анализ полученной формулы (3.2) и расчетного графика позволяют заключить:
‣ корреляционной функции в нуле временного сдвига имеет максимальное значение Bsτ=0=Bs max=Э, равное энергии треугольного импульса;
‣ корреляционная функция является четной функцией своего аргумента
Bsτ=Bs-τ;
‣ корреляционная функция является положительно определенной функцией Bsτ≥0;
‣ размерность корреляционной функции, как следует из формулы (3.2) есть произведение – B2∙c.
‣ рассчитанная корреляционная функция (3.2) обращается в нуль при временном сдвиге τ=τи3=0,9∙10-33=0,3∙10-3 с, что и отображено на графике.
Энергия треугольного импульса, выделяемая на сопротивлении R=1 Ом равна произведению мощности, выделяемой на сопротивлении умноженной на время
Э=P∙t=U2∙R∙t=U2∙1∙t=U2∙t.
Тогда, исходя из первого свойства корреляционной функции и выражения (3.2) будем иметь
Э=Bsτ=0=U2τи3=12∙0,9∙10-33=0,3∙10-3 Дж.