Найти величину и направление наибольшего изменения функции U(M)=U(x у z). Бесплатный доступ к контрольной работе

Реферат.Справочник
Контрольные работы по высшей математике
Найти величину и направление наибольшего изменения функции U(M)=U(x у z)

Найти величину и направление наибольшего изменения функции U(M)=U(x у z) .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти величину и направление наибольшего изменения функции U(M)=U(x,y,z) в точке M0(x0,y0,z0) б) Производную функции U(M)=U(x,y,z) в точке M0(x0,y0,z0) в направлении вектора l Ux,y,z=ln(4x+y3+z2), M0-1;2;-3, l=-8i+6k

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Величина и направление наибольшего изменения функции в заданной точке задается вектором градиента
Вектор градиента равен:
grad U=∂U∂xi+∂U∂yj+∂U∂zk
Найдем частные производные:
∂U∂x=(ln4x+y3+z2)x'=14x+y3+z2∙4x+y3+z2x'=44x+y3+z2
∂U∂xM0=4-4+8+9=413
∂U∂y=(ln4x+y3+z2)y'=14x+y3+z2∙4x+y3+z2y'=3y24x+y3+z2
∂U∂yM0=3∙4-4+8+9=1213
∂U∂z=(ln4x+y3+z2)z'=14x+y3+z2∙4x+y3+z2z'=2z4x+y3+z2
∂U∂zM0=2∙(-3)-4+8+9=-613
Тогда вектор градиента:
grad U=44x+y3+z2∙i+3y24x+y3+z2∙j+2z4x+y3+z2∙k
Вектор градиента в точке M0
grad U=413i+1213j-613k
grad U=16169+144169+36169=196169=1413
Найдем производную функции по направлению вектора l
∂U∂l=∂U∂xcosα+∂U∂ycosβ+∂U∂zcosγ
l=-82+02+62=100=10
cosα=lxl=-810=-45 cosβ=lyl=010=0 cosγ=lzl=610=35
∂U∂l=-45∙44x+y3+z2+35∙2z4x+y3+z2
∂U∂lM0=∂U∂xM0cosα+∂U∂yM0cosβ+∂U∂zM0cosγ=
=413∙-45+-613∙35=-3465
Так как значение производной отрицательное, то функция U убывает в направлении вектора l в заданной точке M0

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу