Найти сумму числового ряда n=1∞4n+5n20n

N=1∞4n+5n20n=n=1∞4n20n+n=1∞5n20n=n=1∞15n+n=1∞14n
Используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
S=b11-q
n=1∞15n => b1=15 q=15 S=151-15=14
n=1∞14n => b1=14 q=14 S=141-14=13
n=1∞4n+5n20n=14+13=712
n=5∞10n2-6n+8
Разложим дробь, представляющую общий член ряда на сумму простейших дробей, предварительно разложив знаменатель на множители:
n2-6n+8=0
D=36-32=4
n1=6-22=2 n2=6+22=4
n2-6n+8=n-2n-4
10n2-6n+8=10n-2n-4=An-2+Bn-4=An-4A+Bn-2Bn-2n-4=
=n(A+B)-4A-2Bn-2n-4
Приравняем коэффициенты левой и правой части:
A+B=0-4A-2B=10 A=-B4B-2B=10 A=-B2B=10 A=-5B=5
10n2-6n+8=-5n-2+5n-4
n=5∞10n2-6n+8=5n=5∞1n-4-5n=5∞1n-2
S=limn→∞Sn
Sn=5k=5n1k-4-5k=5n1k-2=5k=5n1k-4-5k=5n1(k+2)-4=
=5k=5n1k-4-5k=7n+21k-4=5∙1+5∙12+5k=7n1k-4-5k=7n+21k-4=
=152+5k=7n+21k-4-5n-3-5n-2-5k=7n+21k-4=152-5n-3-5n-2
S=limn→∞Sn=limn→∞152-5n-3-5n-2=152