Найти решение задачи Коши y'=5y-52zz'=10y+5z y0=4

Выразим из второго уравнения системы y:
yt=110z'-12z *Дифференцируем по t:
dydt=110z''-12z'
Подставим y и dydt в первое уравнение системы:
110z''-12z'=5*110z'-12z-52z
110z''-12z'=510z'-52z-52z
z''-5z'=5z'-25z-25z
z''-5z'-5z'+25z+25z=0
z''-10z'+50z=0
Характеристическое уравнение:
k2-10k+50=0
k1=5-5i;k2=5+5i
zt=C1e5tcos5t+C2e5tsin5t
Дифференцируем по t:
z't=5C1e5tcos5t-C1e5tsin5t+5C2e5tsin5t+5C2e5tcos5t
Подставим zt и z't в уравнение (*):
yt=110*5C1e5tcos5t-C1e5tsin5t+5C2e5tsin5t+5C2e5tcos5t-12*C1e5tcos5t+C2e5tsin5t=12C1e5tcos5t-110C1e5tsin5t+12C2e5tsin5t+12C2e5tcos5t-12C1e5tcos5t-12C2e5tsin5t=-110C1e5tsin5t+12C2e5tcos5t
Общее решение системы:
yt=-110C1e5tsin5t+12C2e5tcos5tzt=C1e5tcos5t+C2e5tsin5t
Найдем частное решение при заданных начальных условиях y0=4;z0=-1:
12C2=4C1=-1
C2=8C1=-1
yt=110e5tsin5t+4e5tcos5tzt=-e5tcos5t+8e5tsin5t