Найти решение задачи Коши 3y'+2xy=2xy-2e-2x2

Данное уравнение является уравнением Бернулли.
Умножим обе части уравнения на y2:
3y2y'+2xy3=2xe-2x2
Сделаем замену:
z=y3
Тогда:
z'=3y2y'
Подставляем в уравнение:
3z'+2xz=2xe-2x2
Получено линейное уравнение, для решения делаем замену:
z=uv
Тогда:
z'=u'v+uv'
Подставляем в уравнение:
3u'v+uv'+2xuv=2xe-2x2
3u'v+u3v'+2xv=2xe-2x2
Получаем систему уравнений:
3v'+2xv=03u'v=2xe-2x2
Решим первое уравнение системы:
3v'+2xv=0
3v'=-2xv
v'=-23xv
dvv=-23xdx
lnv=-23*x22
lnv=-x23
v=e-x23
Подставим полученное решение во второе уравнение системы:
3u'e-x23=2xe-2x2
u'=23xe-2x2+x23
u'=23xe-5x23
du=23xe-5x23dx
u=23*-310e-5x23d-5x23=-15e-5x23+C
Сделаем обратную замену:
z=uv=e-x23*-15e-5x23+C=Ce-x23-15e-2x2
Сделаем ещё одну обратную замену:
z=y3=Ce-x23-15e-2x2
Тогда общее решение выглядит так:
y=3Ce-x23-15e-2x2
Теперь находим решение задачи Коши, воспользуемся начальным условием:
y0=3C-15=-1
C-15=-1
C=-1+15=-45
Тогда решение задачи Коши выглядит так:
y=3-45e-x23-15e-2x2