Найти первую производную функций y=x∙arctg x+lnx+1x-1. Бесплатный доступ к контрольной работе

Реферат.Справочник
Контрольные работы по высшей математике
Найти первую производную функций y=x∙arctg x+lnx+1x-1

Найти первую производную функций y=x∙arctg x+lnx+1x-1 .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти первую производную функций: y=x∙arctg x+lnx+1x-1 exy+xy=2 y=(sin2x)x2 x=lntg 2ty=lnctg 2t

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Для вычисления производной, применим правила производной произведения, частного, сложной функции, а также, значения табличных производных:
y'=x∙arctg x+lnx+1x-1'=
=(x)'∙arctg x+arctg x'∙x+x-1x+1∙x+1x-1'=
=arctg x2x+x1+x∙x'+x-1x+1∙x-1-x-1(x-1)2=arctg x2x+12(1+x)-2x2-1
Продифференцируем обе части равенства, учитывая, что y=y(x)
exy+xy'=(2)'
exy∙(xy)'+y-xy'y2=0
exy∙(y+xy')+y-xy'y2=0
y'xexy-xy2=-1y-yexy
y'y2xexy-xy2=-1+y2exyy
y'=-1+y2exyy∙y2y2xexy-x=-y(1+y2exy)y2xexy-x
Прологарифмируем обе части равенства:
y=(sin2x)x2
lny=ln(sin2x)x2
lny=x2∙lnsin2x
Продифференцируем обе части равенства, учитывая, что y=y(x)
y'y=(x2)'∙lnsin2x+(lnsin2x)'∙x2
y'y=2x∙lnsin2x+x2sin2x∙(sin2x)'
y'y=2x∙lnsin2x+2sinx∙x2sin2x∙(sinx)'
y'y=2x∙lnsin2x+2cosx∙x2sinx
y'y=2x∙lnsin2x+2x2ctg x
y'=y∙2x∙lnsin2x+2x2ctg x
y'=(sin2x)x2∙2x∙lnsin2x+2x2ctg x
Применим правило производной функции, заданной параметрически:
yx'=yt'xt', yxx''=(yx')t'xt'
yt'=lnctg 2tt'=1ctg 2t∙(ctg 2t)t'=1ctg 2t∙-1sin22t∙(2t)'=-2cos2tsin2t
xt'=lntg 2tt'=1tg 2t∙(tg 2t)t'=1tg 2t∙1cos22t∙(2t)'=2cos2tsin2t
yx'=yt'xt'=-2cos2tsin2t∙cos2tsin2t2=-1

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу