Найти общий интеграл дифференциального уравнения высшего порядка

Это дифференциальное уравнение второго порядка вида, не содержащие явно искомой функции y.
Положим:
y'=px, y''=p'x
Исходное уравнение принимает вид:
p'=1+p2.
Уравнение с разделяющимися переменными:
dpdx=1+p2.
Разделяя переменные и интегрируя, получаем:
dp1+p2=dx.
dp1+p2=dx.
arctg p=x+C.
p=tgx+C
Учитывая, что y'=p:
y'=tgx+C.
Интегрируя, получим общее решение заданного дифференциального уравнения:
y=tgx+Cdx=sinx+Ccosx+Cdx=-dcosx+C cosx+C=-lncosx+C+C1.
Ответ: yx=-lncosx+C+C1.