Найти общие решения (общий интеграл) дифференциальных уравнений первого порядка

Приведем уравнение к виду y'+px∙y=q(x)∙yn
y'-y=xye2x
Обе части уравнения умножим на 2y:
2y∙y'-2y2=2xe2x.(*)
Сделаем теперь подстановку y2=z.(**)
Дифференцируя обе части этого равенства и помня, что у есть функция х, получим
2y∙y'=z',
Делая эти замены в (*), получим уравнение
z'-2∙z=2xe2x
Которое линейно относительно z и z'.
Чтобы сделать подстановку y=e-pxdxv(x), вычислим сначала входящий в нее интеграл.
У нас px=-2; -pxdx=2dx=2x, e-pxdx=e2x.
Подстановка:
z=ve2x.(***)
1-2z'=v'e2x+2e2xvz= ve2xv
-------------------------
2xe2x=v'e2x; v'=2x
Найдем функцию v(x), решая уравнение: v'=2x:
dv=2xdx
Проинтегрируем левую и правую части этого уравнения:
dv=2xdx=>v=x2+C.
Подставляя найденную функцию v=x2+C в (***), получим z:
z=e2x∙vx=x2+C∙e2x.
Чтобы возвратится к исходной искомой функции, воспользуемся сделанной подстановкой (**) и получим:
y2=z=>y=z=>y=x2+C∙e2x=exx2+C.
Ответ: y=exx2+C.