Найти общие решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка

Найдем вначале общее решение, которое будет иметь вид y yo+yч.н Чтобы найти общее решение соответствующего однородного уравнения yo, составим характеристическое уравнение и найдем его корни
3k2-5k-2=0=>k=-13,k=2.
Общее решение соответствующего однородного уравнения
yo=C1e-13x+C2e2x.
Правая часть уравнения имеет вид: fx=6cos2x+38sin2x
Частное решение уравнения будем искать в виде искать в виде:
yч.н=Acos2x+Bsin2x
Имеем:
yч.н'=-2Asin2x+2Bcos2x
yч.н''=-4Acos2x-4Bsin2x
Подставляя эти выражения в неоднородное уравнение (с правой частью f x =6cos2x+38sin2x) , получим:
12-Acos2x-Bsin2x-10-Asin2x+Bcos2x-2Acos2x+Bsin2x=
=-14A-10Bcos2x+10A-14Bsin2x=6cos2x+38sin2x.
Приравняем коэффициенты при cos x и sin x , получим два уравнения для определения А и В:
-14A-10B=610A-14B=38=>A=1B=-2
Таким образом, yч.н=cos2x-2sin2x
Следовательно, частное решение yч.н=cos2x-2sin2x