Найти общие решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка

Найдем вначале общее решение, которое будет иметь вид y yo+yч.н Чтобы найти общее решение соответствующего однородного уравнения yo, составим характеристическое уравнение и найдем его корни
k2+4k-12=0=>k1=-6, k2=2..Частные решения уравнения:
y1=C1e2x,y2=C2e-6x
Общее решение соответствующего однородного уравнения
yo=y1+y2=C1e2x+C2e-6x.
Правая часть уравнения имеет вид: fx=8xe2x
Число α + βi = 2 + 0i является корнем характеристического уравнения кратности k = 1.
Частное решение уравнения будем искать в виде искать в виде:
yч.н=xAx+Be2x
Имеем:
yч.н'=2Ax+Be2x+2e2xAx2+Bx=
yч.н''=2Ae2x+22Ax+Be2x+22Ax+Be2x+4e2xAx2+Bx=
=2e2xA+4Ax+2B+2e2xAx2+Bx
Подставимyч.н,yч.н' ,yч.н''в данное неоднородное уравнение:
-1241yч.н=e2xAx2+Bxyч.н'=2Ax+Be2x+2e2xAx2+Bxyч.н''=2e2xA+4Ax+2B+2e2xAx2+Bx
------------------------------------------------
2e2xA+4Ax+2B+2Ax2+Bx+
+4e2x2Ax+B+2Ax2+Bx-12e2xAx2+Bx=
16Axe2x+2Ae2x+8Be2x=8xe2x
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
xx016A=82A+8B=0=>A=1 2,B=-
Частное решение имеет вид:
yч.н=x1 2x-18e2xТаким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
y=C1e2x+C2e-6x+x1 2x-18e2x.
Ответ:y=C1e2x+C2e-6x+x1 2x-18e2x.