Найти общее решение уравнения y''+10y'+34y=-9e-5x

Найдём сначала общее решение соответствующего однородного уравнения y''+10y'+34y=0. Составим характеристическое уравнение λ2+10λ+34=0 и найдём его корни
λ1,2=-10±100-1362;λ1,2=-5±3i.
Общее решение однородного уравнения будет
yоо=e-5xC1cos3x+C2sin3x.
Найдем частное решение, соответствующее правой части -9e-5x.
Т.к . r=-5не является корнем характеристического уравнения:
yчн=Ae-5x.
Имеем:
y'чн=Ae-5x'=-5Ae-5x.
y''чн=-5Ae-5x'=25Ae-5x
Подставляя эти выражения в неоднородное уравнение:
25Ae-5x+10∙-5Ae-5x+34Ae-5x=-9e-5x.
9A=-9⟹A=-1.
yчн=-e-5x.
Общее решение исходного дифференциального уравнения есть
yон=yоо+yчн=e-5xC1cos3x+C2sin3x-e-5x=e-5xC1cos3x+C2sin3x-1.
Ответ: y=e-5xC1cos3x+C2sin3x-1.