Найти общее решение линейного неоднородного дифференциальногоуравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом неопределённых коэффициентов

Найдём сначала общее решение соответствующего однородного уравнения y''+9y=0. Для этого составим характеристическое уравнение λ2+9=0 и найдём его корни
λ1,2=±3i.
Общее решение однородного уравнения будет
yо.о.=e0∙xC1sin3x+C2cos3x=C1sin3x+C2cos3x.
Правую часть неоднородного уравнения запишем в виде суммы двух функций f1x=xsin3x и f2x=2e3x, для которых частное решение можно искать методом неопределённых коэффициентов.
Частное решение, соответствующее правой части f1(x)=xsin3x будем искать в виде:
yчн.1.=Ax+Bsin3x+Cx+Dcos3xxt
Характеристическое число функции f1x=xsin3x равно r1=a+bi=3i, поэтому t=1, так как r1=3i является корнем характеристического уравнения кратности 1, тогда
yчн.1.=Ax2+Bxsin3x+Cx2+Dxcos3x.
Имеем:
y'чн.1.=2Ax+Bsin3x+Ax2+Bx3cos3x+2Cx+Dcos3x-Cx2+Dx3sin3x=
=2Ax+B-3Cx2+Dxsin3x+3Ax2+Bx+2Cx+Dcos3x.
y''чн.1.=2A-6Cx-3Dsin3x+32Ax+B-3Cx2+Dxcos3x+
+6Ax+3B+2Ccos3x-3Ax2+Bx+2Cx+D3sin3x
Подставляя эти выражения в неоднородное уравнение (с правой частью f1(x)):
2A-6Cx-3D-33Ax2+Bx+2Cx+Dsin3x+
+32Ax+B-3Cx2+Dx+6Ax+3B+2Ccos3x+9Ax2+Bxsin3x+
+9Cx2+Dxcos3x=xsin3x
2A-12Cx-6D-9Ax2-9Bx+9Ax2+9Bxsin3x+
+12Ax+6B-9Cx2-9Dx+2C+9Cx2+9Dxcos3x=xsin3x
2A-12Cx-6Dsin3x+12Ax+6B+2Ccos3x=xsin3x
Приравнивая коэффициенты:
-12C=12A-6D=012A=06B+2C=0 ⟹C=-112;A=0;D=0;B=136.
Таким образом,
yчн.1.=136xsin3x-112x2cos3x
Частное решение, соответствующее правой части f2x=2e3x, запишем в виде:
yчн.2.=Ae3xxt
Характеристическое число функции f2x=Ae3x равно r2=3, поэтому t=0, так как r2=3 не является корнем характеристического уравнения, тогда
yчн.2.=Ae3x
Имеем:
y'чн.2.=Ae3x'=3Ae3x
y''чн.2.=9Ae3x
Подставляя эти выражения в неоднородное уравнение (с правой частью f2(x)), получим:
9Ae3x+9Ae3x=2e3x
Приравниваем коэффициенты:
18A=2⟹A=19
Таким образом,
yчн.2.=19e3x.
Следовательно, общее решение исходного дифференциального уравнения есть
yо.н.=yо.о.+yчн.1.+yчн.2.,
илиyо.н.=C1sin3x+C2cos3x+136xsin3x-112x2cos3x+19e3x=
=C1+136xsin3x+C2-112x2cos3x+19e3x.
Ответ:yо.н.=C1+136xsin3x+C2-112x2cos3x+19e3x.