Найти общее решение дифференциального уравнения

Составим однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка, соответствующее данному: y''+2y'+5y=0
Его характеристическое уравнение имеет видλ2+2λ+5=0;
D=4-4∙5=4-20=-16;
λ1=-2+4i2=-1+2i; λ2=-2-4i2=-1-2i; α=-1, β=2
Числа λ1=-1+2i и λ2= =-1-2i – корни этого уравнения, комплексно-сопряженные. Общего решение линейного однородного дифференциального уравнения имеет вид
yобщ.одн.=eαxC1cosβx+C2sinβx .
yобщ.одн.=e-1xC1cos2x+C2sin2x=e-xC1cos2x+C2sin2x
Для нахождения частного решения исходного дифференциального уравнения проанализируем вид функции px=10cosx, подходит под второй специальный вид, так как имеет структуру выражения , в котором
, β=1; полученные сопряженные комплексные числа 0±1i;не сопадают
с корнями характеристического уравненияλ1,2=-1±2i, поэтому частное решение:
y=e0xAcosx+Bsinx=Acosx+Bsinx
Найдем первую и вторую производные:
y'=Acosx+Bsinx'=-Asinx+Bcosx
y''=-Asinx+Bcosx'=-A∙cosx+B∙-sinx=-Acosx-Bsinx
Подставим найденные выражения в левую часть уравнения и приведем подобные слагаемые:
y''+2y'+5y=-Acosx-Bsinx+2-Asinx+Bcosx+5Acosx+Bsinx
=-Acosx-Bsinx-2Asinx+2Bcosx+5Acosx+5Bsinx=
=cosx-A+2B+5A+sinx-B-2A+5B=cosx4A+2B+sin2x(4B-2A)
4A+2B=10-2A+4B=0; 4A+2B=10-4A+8B=0; 10B=10A=-4B-2=2B;B=1A=2
Тогда частное решение имеет вид:
y=Acosx+Bsinx=2cosx+sinx
Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид:
y=yобщ.одн+y=e-xC1cos2x+C2sin2x+2cosx+sinx
Ответ:y= e-xC1cos2x+C2sin2x+2cosx+sinx