Найти общее решение дифференциального уравнения. Бесплатный доступ к контрольной работе

Реферат.Справочник
Контрольные работы по высшей математике
Найти общее решение дифференциального уравнения

Найти общее решение дифференциального уравнения .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти общее решение дифференциального уравнения а) xy1+x2y'=1+y2 б) частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию: y'+x+1xy=3xe-x, y1=1e

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Это уравнение с разделяющимися переменными:
xy1+x2dydx=1+y2
ydy1+y2=dxx1+x2
Интегрируем обе части уравнения:
ydy1+y2=12d1+y21+y2=12ln1+y2
dxx1+x2=dxx-xdx1+x2=dxx-12d1+x21+x2=lnx-12ln1+x2+12lnC
Разложим подынтегральную дробь на сумму простейших:
1x1+x2=Ax+Bx+C1+x2=A+Ax2+Bx2+Cxx1+x2
A+B=0C=0A=1 A=1B=-1C=0
1x1+x2=1x-x1+x2
12ln1+y2=lnx-12ln1+x2+12lnC
1+y2=Cx21+x2 => y2=Cx21+x2-1 y=±Cx21+x2-1
б) Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение . Найдем решение линейного однородного уравнения:
y'+x+1xy=0
dydx=-x+1xy
dyy=-x+1xdx
Интегрируем обе части уравнения:
dyy=lny -x+1xdx=-1+1xdx=-x-lnx+lnC
lny=-x-lnx+lnC
y=Ce-xx
Решение неоднородного уравнения будем искать в виде:
y=Cxe-xx => y'=C'xe-x-Cxe-xx-Cxe-xx2=
=C'xe-xx-C(x)e-x(x+1)x2
Подставим данные значения в исходное уравнение:
C'xe-xx-C(x)e-x(x+1)x2+x+1x∙Cxe-xx=3xe-x
C'xe-xx=3xe-x
C'x=3x2 => Cx=x3+C1
y=Cxe-xx=(x3+C1)e-xx
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:
y1=1e => 1e=1+C1e-11 => C1=0
Частное решение уравнения:
y=x3e-xx=x2e-x

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу