Найти общее решение дифференциального уравнения методом подбора

Найдём сначала общее решение соответствующего однородного уравнения y"+3y'+2y=0. Для этого составим характеристическое уравнение λ2 +3λ+2 = 0 и найдём его корни λ1=-2 , λ2=-1. Общее решение однородного уравнения будет
yo.o=C1e-2x+C2e-x.
Правую часть неоднородного уравнения запишем в виде суммы трех функций f1x =x2,f2x =-4e2x, для которых частное решение можно искать методом неопределённых коэффициентов .
Частное решение, соответствующее правой части f1x =x2 будем искать в виде:
yч.н.1=A+Bx+Cx2
где А,B,C неизвестные постоянные.
Имеем:
yч.н.1'=B+2Cx
yч.н.1''=2C
Подставляя эти выражения в неоднородное уравнение (с правой частью f1 (x ) , получим:
2C+3B+2Cx+2A+Bx+Cx2=x2
Приравниваем коэффициенты при одинаковых функциях слева и справа, получим
x2x1x02C=16C+2B=02C+3B+2A=0=>C=12, B=-32,A=74.
Таким образом,
yч.н.1=74-32x+12x2
Частное решение, соответствующее правой части f2x =-4e2xбудем искать в виде:
yч.н.2=De2x
Имеем:
yч.н.2'=2De2x
yч.н.2''=4De2x
Подставляя эти выражения в неоднородное уравнение (с правой частью f2 (x ) , получим:
4De2x+3∙2De2x+2∙De2x=-4e2x=>12D=-4=>D=-13
Тогда yч.н2=-13e2x
Следовательно, общее решение исходного дифференциального уравнения есть y= yо.о..+yч.н.1 +yч.н