Найти область сходимости степенных рядов

Интервал сходимости степенного ряда найдем с помощью признака Даламбера:
un=n2n+1(x-1)n un+1=n+12n+3(x-1)n+1=(n+1)(x-1)n∙(x-1)(2n+3)
limn→∞ un+1un=limn→∞(n+1)(x-1)n∙(x-1)2n+3∙2n+1n∙(x-1)n=
=x-1∙limn→∞n+12n+1n2n+3=x-1∙limn→∞2n2+3n+12n2+3n=
=x-1∙limn→∞1+12n2+3n=x-1
Ряд сходится при
x-1<1 0<x<2
Исследуем ряд на сходимость на концах интервала:
x=0
n=1∞(-1)n∙n2n+1
Это знакочередующийся ряд . Общий член ряда по модулю не стремится к нулю
limn→∞n2n+1=12
По признаку Лейбница ряд расходится.
x=2
n=1∞n2n+1
Не выполнен обязательный признак сходимости ряда. Общий член ряда не стремится к нулю
Область сходимости исследуемого степенного ряда:
0<x<2
Интервал сходимости степенного ряда найдем с помощью признака Даламбера:
un=(-1)nn2x2n un+1=(-1)n+1n+12x2n+2=(-1)n+1n+12x2n∙x2
limn→∞ un+1un=limn→∞(-1)n+1n+12x2n∙x2∙n2(-1)nx2n=x2∙limn→∞n2n+12=x2
Ряд сходится при
x2<1 -1<x<1
Исследуем ряд на сходимость на концах интервала:
x=-1
n=2∞(-1)nn2
Исследуем на сходимость ряд, составленный из модулей исходного ряда:
n=2∞1n2
Данный ряд сходится как обобщенно гармонический с показателем степени α=2, поэтому исходный ряд сходится абсолютно.
x=1
n=2∞(-1)nn2
Исследуем на сходимость ряд, составленный из модулей исходного ряда:
n=2∞1n2
Данный ряд сходится как обобщенно гармонический с показателем степени α=2, поэтому исходный ряд сходится абсолютно.
Область сходимости исследуемого степенного ряда:
-1<x<1