Найти область сходимости степенного ряда

An=xn*2nn+1
an+1=xn+1*2n+1n+2
Находим R:
R=limn→∞an+1an=limn→∞xn+1*2n+1n+2xn*2nn+1=limn→∞xn+1*2n+1*n+1n+2*xn*2n=limn→∞xn*x*2n*2*n+1n+2*xn*2n=limn→∞x*2*n+1n+2=x*limn→∞2n+2n+2=∞∞=x*limn→∞2nn+2nnn+2n=x*limn→∞2+2n→01+2n→0=x*2
Значит область сходимости
x*2<1
-1<2x<1
-12<x<12
Проверим сходимость на правой границе интервала:
x=12; n=1∞12n*2nn+1=n=1∞1n+1
Используем первый признак сравнения . Сравним данный ряд с рядом n=1∞1n, который расходится
limn→∞anbn=limn→∞1n+11n=limn→∞nn+1=∞∞=limn→∞nnnn+1n=limn→∞11+1n→0=1
Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд расходится вместе с рядом  n=1∞1n.
Проверим сходимость на левой границе интервала:
x=-12; n=1∞-12n*2nn+1=n=1∞-1nn+1
Используем признак Лейбница:
1) n=1∞-1nn+1=-12+13-14+…
Данный ряд является знакочередующимся.
2) limn→+∞an=limn→∞1n+1=0
Исследуем ряд на абсолютную сходимость:
n=1∞an=n=1∞1n+1
Используем первый признак сравнения