Найти область сходимости степенного ряда n=1∞x+5n3n

Найдем limn→∞an+1an=limn→∞x+5n+13(n+1)x+5n3n=limn→∞3n(x+5)3(n+1)=x+5limn→∞3n3n+3=x+5.
Чтобы ряд сходился необходимо, чтобы выполнялось условие limn→∞an+1an<1, т.е.
x+5<1, -1<x+5<1, -6<x<-4.
(-6;-4) - интервал сходимости.
Рассмотрим этот ряд на концах интервала и выясним его сходимость.
При х = - 6 получаем n=1∞-1n3n знакочередующийся ряд.
Применим признак Лейбница:
1) 13>16>19>…>13n>…; 2) limn→∞an=limn→∞13n=0 следовательно ряд сходится.
Рассмотрим ряд n=1∞13n состоящий из модулей членов знакочередующегося ряда n=1∞-1n3n.
Сравним его с расходящимся гармоническим рядом n=1∞1n, используя предельный признак сравнения:
limn→∞1n13n=limn→∞3nn=3 значит ряд n=1∞13n расходится.
Ряд n=1∞-1n3n сходится условно.
При х = -4 получаем n=1∞13n