Найти область сходимости ряда n=1∞5nxn2n+123n

Un=5nxn2n+123n
Применим признак Даламбера
limn→∞un+1un=limn→∞5n+1xn+12n+1+123n+1∙2n+123n5nxn=
=limn→∞5n⋅5⋅xn⋅xn22+3n233n∙n22+1n23n5nxn=5x∙44∙3=5x3
По признаку Даламбера ряд сходится, если:limn→∞un+1un<1.
Следовательно, область сходимости ряда
5x3<1 ⟹ x∈-35;35
Исследуем сходимость на концах интервала:
а) x=35: n=1∞5n35n2n+123n= n=1∞12n+12-знакоположительный.
Сравним со сходящимся гармоническим рядом:
n=1∞bn=n=1∞1n2, α=2>1
limn→∞anbn=limn→∞12n+12:1n2=limn→∞n2n22+1n2=14.
Получили конечный предел отличный от нуля, следовательно, исходный ряд также сходится.
б) x=-35: n=1∞5n-35n2n+123n= n=1∞-1n2n+12-знакочередующийся
Ряд из модулей сходится (a), следовательно,данный знакочередующийся ряд сходится абсолютно.
Окончательно область сходимости-35;35концы интервала входят в область сходимости.
Ответ: x∈-35;35.