Найти область сходимости функционального ряда. Бесплатный доступ к контрольной работе

Реферат.Справочник
Контрольные работы по высшей математике
Найти область сходимости функционального ряда

Найти область сходимости функционального ряда .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти область сходимости функционального ряда. n=1∞x+2n2n+1*3n

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

An=x+2n2n+1*3n
an+1=x+2n+12n+1+1*3n+1=x+2n+12n+2+1*3n+1=x+2n+12n+3*3n+1
Находим R:
R=limn→∞an+1an=limn→∞x+2n+12n+3*3n+1x+2n2n+1*3n=limn→∞x+2n+1*2n+1*3n2n+3*3n+1*x+2n=limn→∞x+2n*x+2*2n+1*3n2n+3*3n*3*x+2n=limn→∞x+2*2n+12n+3*3=x+2limn→∞2n+12n+3*3=x+2limn→∞2n+16n+9=x+2limn→∞2nn+1n6nn+9n=x+2limn→∞2+1n→06+9n→0=x+2*13
Значит область сходимости
-1<13x+2<1
-3<x+2<3
-5<x<1
Проверим сходимость на правой границе интервала:
x=1; n=1∞1+2n2n+1*3n=n=1∞3n2n+1*3n=n=1∞12n+1
Сравним данный с по предельному признаку сравнения с расходящимся гармоническим рядом n=1∞1n
limn→∞bnan=limn→∞1n12n+1=limn→∞2n+1n=2≠0≠∞
Получено конечное число, отличное от нуля, значит, ряд n=1∞12n+1 расходится вместе с рядом n=1∞1n.
Проверим сходимость на левой границе интервала:
x=-5; n=1∞-5+2n2n+1*3n=n=1∞-3n2n+1*3n=n=1∞-1n2n+1
Используем признак Лейбница.
1) n=1∞-1n2n+1=-13+15-17+…
Ряд является знакочередующимся.
2) limn→+∞an=limn→+∞12n+1=0члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно.
Ряд сходится по признаку Лейбница.
Исследуем ряд на абсолютную сходимость:
n=1∞an=n=1∞12n+1
Выше мы доказали, что данный ряд расходится.
Значит, границы не включаются в область сходимости
-5<x<1

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу