Найти неопределенный интеграл 3x3-x2-12x-2x(x+1)(x-2)dx

Xx+1x-2=x2+xx-2=x3-2x2+x2-2x=x3-x2-2x
Выполним деление многочлена 3x3-x2-12x-2x3-x2-2x столбиком, получим:
3x3-x2-12x-2x3-x2-2x3x3-3x2-6x3
2x2-6x-2
3x3-x2-12x-2x(x+1)(x-2)=3+ 2x2-6x-2x3-x2-2x=3+ 2x2-6x-2x(x+1)(x-2)
Разложим дробь на простейшие:
2x2-6x-2x(x+1)(x-2)=Ax+Bx+1+Cx-2=Ax+1x-2+Bxx-2+Cx(x+1)x(x+1)(x-2)=
=Ax2-2x+x-2+Bx2-2Bx+Cx2+Cxx(x+1)(x-2)=
=Ax2-Ax-2A+Bx2-2Bx+Cx2+Cxx(x+1)(x-2)=(A+B+С)x2+(-A-2B+C)x-2Ax(x+1)(x-2)
Найдем коэффициенты, решив систему:
A+B+С=2-A-2B+C=-6-2A=-2; 2A+2B+2C=4-A-2B+C=-6A=1;A+B+C=2A+3C=-2A=1;B=2C=-1A=1
2x2-6x-2x(x+1)(x-2)=Ax+Bx+1+Cx-2=1x+2x+1-1x-2
Тогда:
3x3-x2-12x-2x(x+1)(x-2)dx=3+ 2x2-6x-2x(x+1)(x-2)dx=3+1x+2x+1-1x-2dx=
=3dx+1xdx+21x+1dx-1x-2dx=3x+lnx+2lnx+1-lnx-2+C
Ответ: 3x+lnx+2lnx+1-lnx-2+C