Найти неопределённые интегралы. Результаты проверить дифференцированием

В данном случае подынтегральная функция представляет собой неправильную дробь, поэтому выделим целую часть, разделим в столбик числитель на знаменатель:
Тогда:
x3-5x2-6x+5=x+6+31x-35x2-6x+5
Полученную дробь разложим на сумму простейших дробей, применив метод неопределённых коэффициентов:
31x-35x2-6x+5=31x-35(x-1)(x-5)=Ax-1+Bx-5
Ax-5+Bx-1=31x-35
Ax-5A+Bx-B=31x-35
Приравнивая коэффициенты между соответствующими степенями, получаем систему уравнений:
A+B=31-5A-B=-35
Решив данную систему, получим, что:
A=1;B=30
Тогда подынтегральная функция перепишется так:
x3-5x2-6x+5=x+6+1x-1+30x-5
Получаем:
x3-5x2-6x+5dx=x+6+1x-1+30x-5dx=xdx+6dx+dxx-1+30dxx-5=x22+6x+lnx-1+30lnx-5+C
Теперь сделаем проверку, для этого продифференцируем полученный результат:
x22+6x+lnx-1+30lnx-5+C'=12*2x+6+1x-1+30x-5=x+6+1x-1+30x-5=x*x-1*x-5+6*x-1*x+5+1*x-5+30*x-1x-1x-5=x*x2-6x+5+6*x2-6x+5+x-5+30x-30x2-6x+5=x3-6x2+5x+6x2-36x+30+x-5+30x-30x2-6x+5=x3-5x2-6x+5
Так как получена исходная подынтегральная функция, делаем вывод, что интеграл найден правильно.