Найти неопределенные интегралы dxcos22x

Выполним замену переменной:
2x=t => 2dx=dt dx=12dt
dxcos22x=12dtcos2t=12tg t+C=12tg2x+C
Подынтегральная дробь является правильной дробью. Разложим ее на сумму простейших дробей, предварительно разложив знаменатель на множители:
x2+x-6=0
D=1+24=25 x1=-1-52=-3 x2=-1+52=2
x2+x-6=x+3(x-2)
5xx2+x-6=5xx+3(x-2)=Ax+3+Bx-2=Ax-2+B(x+3)x2+x-6=
=xA+B-2A+3Bx2+x-6
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях переменной x в числителе левой и правой частей:
A+B=5-2A+3B=0 A=5-B-2(5-B)+3B=0 A=5-B5B=10 A=3B=2
5xx2+x-6=3x+3+2x-2
5xdxx2+x-6=3dxx+3+2dxx-2=3d(x+3)x+3+2d(x-2)x-2=
=3lnx+3+2lnx-2+C
Применим формулу интегрирования по частям:
udv=uv-vdu
u=lnx dv=dxx
du=dxx v=2x
lnxdxx=2xlnx-2xdxx=2xlnx-2dxx=2xlnx-4x+C