Найти касательную плоскость к поверхности уровня функции U. Бесплатный доступ к контрольной работе

Реферат.Справочник
Контрольные работы по высшей математике
Найти касательную плоскость к поверхности уровня функции U

Найти касательную плоскость к поверхности уровня функции U .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти касательную плоскость к поверхности уровня функции U, проходящую через точку M0; Найти производную от U в точке M0 по направлению нормали к поверхности S, образующей острый угол с положительным направлением оси OZ.

Нужно полное решение этой работы?

Ответ

а) 15∙x-3∙y+4∙z-40=0 б)∂UM0∂l= -15∙101

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

U=x3+y2+z2S:x=z2-y2M(1;-3;4)
Уравнения касательной в общем виде задается следующим образом
z-z0=Ux'∙x-x0+Uy'∙y-y0
Найдем частные производные функции U
∂U∂x=3∙x2∂U∂y=2∙y2∙y2+z2=yy2+z2∂U∂z=2∙z2∙y2+z2=zy2+z2
Поскольку функция задана в неявном виде, то производные ищем по формуле
∂z∂x=-∂U∂x∂U∂z=-3∙x2zy2+z2=-3∙x2∙y2+z2z
∂z∂y=-∂U∂y∂U∂z=-yy2+z2zy2+z2=-y∙y2+z2z∙y2+z2=-yz
Найдем значения частных производных в точке M0:
∂z∂x=-3∙x2∙y2+z2z=-3∙12∙-32+424=-3∙1∙9+164=-3∙254=-3∙54=-154
∂z∂y=-yz=--34=34
Получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M0
z-4=-154∙x-1+34∙y+3
Упростим это выражение
4∙z-4=-15∙x-1+3∙y+3, 4∙z-16=-15∙x+15+3∙y+9, 15∙x-3∙y+4∙z-40=0
Производная по направлению находится по формуле:
∂U∂l=∂U∂x∙cosα+∂U∂y∙cosβ+∂U∂z∙cosγ
где cosα, cosβ, cosγ- координаты единичного вектора данного направления.
Найдём частные производные функции U в заданной точке:
∂U∂xM0=3∙x2M0=3∙12=3∙1=3
∂U∂yM0=yy2+z2M0=-3-32+42=-39+16=-325=-35
∂U∂yM0=zy2+z2M0=4-32+42=49+16=425=45
Следовательно grad U=3-3545 и производная по заданному направлению равна:
∂U∂l=3∙cosα-35∙cosβ+45∙cosγ
Уравнение поверхности S запишем в виде: F=x+y2-z2=0
Найдём координаты вектора
n=∂F∂xM0∂F∂yM0∂F∂zM0
∂F∂xM0=1M0=1
∂F∂yM0=2∙yM0=2∙-3=-6
∂F∂zM0=-2∙zM0=-2∙4=-8
Таким образом n=1-6-8

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу