Найти интервал сходимости степенного ряда. Бесплатный доступ к контрольной работе

Реферат.Справочник
Контрольные работы по высшей математике
Найти интервал сходимости степенного ряда

Найти интервал сходимости степенного ряда .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти интервал сходимости степенного ряда. Исследовать поведение ряда на границах интервала: n=1∞x+1n3nn+1ln2n+1

Нужно полное решение этой работы?

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

An=x+1n3nn+1ln2n+1
an+1=x+1n+13n+1n+2ln2n+2
Находим:
limn→∞an+1an=limn→∞x+1n+13n+1n+2ln2n+2x+1n3nn+1ln2n+1=limn→∞x+1n+1*3nn+1ln2n+1x+1n*3n+1n+2ln2n+2=limn→∞x+1n*x+1*3nn+1ln2n+1x+1n*3n*3n+2ln2n+2=limn→∞x+1n+1ln2n+13n+2ln2n+2=x+1limn→∞n+1ln2n+13n+2ln2n+2=x+1*13
Значит область сходимости
x+1*13<1
x+1<3
-3<x+1<3
-4<x<2
Проверим сходимость на правой границе интервала:
x=2; n=1∞2+1n3nn+1ln2n+1= n=1∞3n3nn+1ln2n+1= n=1∞1n+1ln2n+1
Применим интегральный признак Коши .
1∞dxx+1ln2x+1
Вычислим для начала неопределенный интеграл
dxx+1ln2x+1=u=lnx+1du=dxx+1=duu2=-1u+C=-1lnx+1+C
1∞dxx+1ln2x+1=limb→∞-1lnx+1b1=limb→∞-1lnb+1--1ln1+1=1ln2
Таким образом, исследуемый ряд сходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.
Проверим сходимость на левой границе интервала:
x=-4; n=1∞-4+1n3nn+1ln2n+1= n=1∞-3n3nn+1ln2n+1= n=1∞-1nn+1ln2n+1
Используем признак Лейбница.
1) n=1∞-1nn+1ln2n+1=-12ln22+13ln23-14ln24+…
Ряд является знакочередующимся.
2) limn→+∞an=limn→+∞1n+1ln2n+1=0
Члены ряда убывают по модулю, при этом, каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, таким образом, убывание монотонно.
Вывод: Ряд сходится.
Исследуем ряд на абсолютную сходимость:
n=1∞an=n=1∞1n+1ln2n+1
Применим интегральный признак Коши

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу